menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel untuk menyelesaikan masalah

Sesuai dengan namanya, sistem persamaan linear tiga variabel terdiri atas tiga variabel. Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan system persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear dengan tiga variabel atau peubah yang sama. Sama seperti SPLDV, sistem persamaan linear tiga variable juga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. SPLTV dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan model matematika berbentuk SPLTV.

Bentuk umum SPLTV biasanya ditulis dengan bentuk sebagai berikut:

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix +jy +kz = l

 Dari bentuk di atas, x, y dan z merupakan variable atau peubah yang nilainya belum diketahui. Sedangkan a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k, dan l merupakan bilangan-bilangan real yang sudah diketahui nilainya. Nah, penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable artinya menemukan nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan penyusun sistem. Dengan kata lain, nilai tersebut harus menyebabkan ketiga persamaan bernilai benar. 

 pada SPLTV juga dapat diselesaikan dengan beberapa metode seperti substitusi, metode eliminasi, dan metode campuran (eliminasi dan substitusi). Nah ada lagi metode penyelesaian yang akan dipelajari pada tingkat lanjut yakni metode determinan dengan menggunakan matriks.

 

Contoh Soal 1

Ibu Yanti membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp 305.000,00. Ibu Eka membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp 131.000,00. Ibu Putu membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 360.000,00. Jika Ibu Aniza membeli 3 kg telur, 1 kg daging, dan 2 kg udang, berapah harga yang harus ia bayar?

 

Penyelesaian:

Misal x = harga telur, y = harga daging, dan z = harga udang.

Jumlah harga belanjaan ibu Yanti Rp 305.000 sehingga diperoleh persamaan:

5x + 2y + z = 305000

Jumlah harga belanjaan ibu Eka Rp 131.000 sehingga diperoleh persamaan:

3x + y = 131000

Jumlah harga belanjaan ibu Putu Rp 360.000 sehingga diperoleh persamaan:

Diperoleh SPLTV yakni:

5x + 2y + z = 305000 . . . . pers (1)

3x + y = 131000 . . . . pers (2)

3y + 2z = 360000 . . . . pers (3)

 

Adapun metode yang akan dipilih dalam menyelesaikan SPLTV yakni metode subtitusi.

Langkah I

Ubah persamaan 2 yakni:

3x + y = 131000

y = 131000 – 3x . . . .  pers (4)

3y + 2z = 360000

Jumlah harga yang harus dibayar Ibu Aniza dapat ditulis dengan persamaan = 3x + y + 2z

 

Langkah II

Substitusi persamaan 4 ke persamaan 1, maka:

5x + 2y + z = 305000

5x + 2(131000 – 3x) + z = 305000

5x + 262000 – 6x + z = 305000

– x + z = 43000

z = 43000 + x . . . . persamaan 5

 

Langkah III

Substitusi persamaan 5 ke persamaan 3, maka:

3y + 2z = 360000

3y + 2(43000 + x) = 360000

3y + 86000 + 2x = 360000

2x + 3y = 274000 . . . . pers (6)

 

Langkah IV

Substitusi persamaan 4 ke persamaan 6, maka:

2x + 3y = 274000

2x + 3(131000 – 3x) = 274000

2x + 393000 – 9x = 274000

– 7x = – 119000

x = – 119000/–7

x = 17000

 

Langkah V

Substitusi nilai x ke persamaan 4 dan ke persamaan 5, maka:

y = 131000 – 3x

y = 131000 – 3(17000)

y = 80000

 

z = 43000 + x

z = 43000 + 17000

z = 60000

 

Langkah VI

Jumlah harga yang harus dibayar ibu Aniza yakni:

Ibu Dina = 3x + y + 2z

Ibu Dina = 3(17000) + 80000 + 2(60000)

Ibu Dina = 51000 + 80000 + 120000

Ibu Dina = 251000

 

Jadi, harga yang harus Ibu Aniza bayar adalah sebesar Rp 251.000,00

 

Contoh Soal 2

Pada hari Minggu Wayan, Candra, Agus dan Akbar membeli perlengkapan sekolah di toko buku “Subur”. Wayan membeli 4 buku, 2 bolpoin, dan 3 pensil dengan harga Rp26.000,00. Candra membeli 3 buku, 3 bolpoin, dan 1 pensil dengan harga Rp21.500,00. Agus membeli 3 buku, dan 1 pensil dengan harga Rp12.500,00. Jika Akbar membeli 1 buku, 2 bolpoin dan 2 pensil, berapakah harga yang harus ia bayar?

 

Penyelesaian:

Misalkan a = buku, b = bolpoin, dan c = pensil

 

Persamaan matematis untuk:

Wayan => 4a + 2b + 3c = 26000

Candra => 3a + 3b + c = 21500

Agus => 3a + c = 12500

Akbar => a + 2b + 2c = ?

 

Diperoleh SPLTV yakni:

4a + 2b + 3c = 26000 . . . . pers (1)

3a + 3b + c = 21500 . . . . pers (2)

3a + c = 12500 . . . . pers (3)

 

Adapun metode yang dipilih dalam menyelesaikan SPLTV ini yakni dengan menggunakan metode eliminiasi.

 

Langkah I

Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 2 yakni:

4a + 2b + 3c = 26000  x3

3a + 3b + c = 21500    x2

 

12a + 6b + 9c = 78000

  6a + 6b + 2c = 43000

-----------------------------   -

  6a +  0  + 7c = 35000

=> 6a + 7c = 35000 . . . pers (4)

 

Langkah II

Eliminiasi variabel c pada persamaan 3 dan 4, yakni:

3a + c = 12500    x7

6a + 7c = 35000  x1

 

21a + 7c = 87500

  6a + 7c = 35000

-----------------------  -

15a          = 52500

a = 3500

 

Langkah III

Substitusi nilai a ke persamaan 4, maka:

6a + 7c = 35000

6(3500) + 7c = 35000

21000 + 7c = 35000

7c = 14000

c = 2000

 

Langkah IV

Substitusi nilai a dan c ke persamaan 2, maka:

3a + 3b + c = 21500

3(3500) + 3b + 2000 = 21500

10500 + 3b + 2000 = 21500

12500 + 3b = 21500

3b = 9000

b = 3000

 

Langkah V

Untuk menentukan harga yang harus Akbar bayar dapat dilakukan dengan memasukan nilai a, b dan c, yakni:

Harga = a + 2b + 2c

Harga = 3500 + 2(3000) + 2(2000)

Harga = 3500 + 6000 + 4000

Harga = 13500

Jadi harga yang harus Akbar bayar adalah sebesar Rp 13.500,00

 

Contoh Soal 3

Diketahui sebuah bilangan tiga angka. Jumlah angka-angka tersebut 11. Dua kali angka pertama ditambah angka kedua sama dengan angka ketiga. Angka pertama ditambah angka kedua dikurangi angka ketiga sama dengan – 1. Tentukan ketiga bilangan tersebut.

 

Penyelesaian:

Misalkan: x = bilangan pertama, y = bilangan kedua, z = bilangan ketiga

 

Persamaan matematis:

a + b + c = 11

2a + b = c => 2a + b – c = 0

a + b – c = – 1

 

Diperoleh SPLTV yakni:

a + b + c = 11 . . . . pers (1)

2a + b – c = 0 . . . . pers (2)

a + b – c = – 1 . . . . pers (3)

 

Langkah I

Eliminasi c dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 maka:

a + b + c = 11

2a + b – c = 0

----------------- +

3a + 2b = 11 . . . . . pers (4)

 

Langkah II

Eliminasi b dan c dengan menggunakan persamaan 2 dan 3, maka:

2a + b – c = 0

a + b – c = – 1

------------------  -

a = 1

 

Langkah III

Subtitusi nilai a ke persamaan 4, maka:

3a + 2b = 11

3(1) + 2b = 11

3 + 2b = 11

2b = 8

b = 4

 

Langkah IV

Subtitusi nilai a dan b ke persamaan 1, 2 atau 3, maka:

a + b + c = 11

1 + 4 + c = 11

5 + c = 11

c = 6

 

Jadi ketiga bilangan tersebut secara berurutan adalah 1, 4 dan 6.

 

Contoh Soal 4

Eka, Dwi, dan Tri adalah 3 bersaudara. Menurut mereka, jumlah usia mereka adalah 28 tahun. Jumlah usia Eka yang ditambah 2 tahun dan usia Dwi yang ditambah 3 tahun sama dengan 5 tahun ditambah tiga kali usia Tri. Dua kali usia Eka dikurangi usia Dwi kemudian ditambah usia Tri sama dengan 13 tahun. Tentukan urutan usia mereka dari yang paling muda!

 

Penyelesaian:

Misal usia Eka = x, Dwi = y, dan Tri = z

 

Persamaan matematis:

x + y + z = 28

(x + 2) + (y + 3) = 5 + 3z => x + y – 3z = 0

2x – y + z = 13

 

Diperoleh SPLTV yakni:

x + y + z = 28 . . . . pers (1)

x + y – 3z = 0 . . . . pers (2)

2x – y + z = 13 . . . . pers (3)

 

Langkah I

Eliminasi x dan y dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 yakni:

x + y + z = 28

x + y – 3z = 0

----------------- -

            4z = 28

             z = 7

 

Langkah II

Eliminiasi y dengan menggunakan persamaan 2 dan 3 yakni:

x + y – 3z = 0

2x – y + z = 13

------------------  +

3x – 2z = 13 . . . . pers (4)

 

Langkah III

Substitusi nilai z ke persamaan 4, maka:

3x – 2z = 13

3x – 2(7) = 13

3x – 14 = 13

3x = 27

x = 9

 

Langkah IV

Substitusi nilai x dan z ke persamaan 1, maka:

x + y + z = 28

9 + y + 7 = 28

y + 16 = 28

y = 12

Jadi urutan usia dari usia yang paling muda yaitu 7 tahun, 9 tahun, dan 12 tahun.

 Demikian artikel tentang soal cerita persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dan penyelesaiannya. Apabila terdapat kesalahan tanda maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya

NAMA: SUTERA DEWI

KELAS: X-E

ABSEN:36

AKU SENANG DI SMAN 63 JAKARTA

  apa yang aku ekspetasikan terhadap sekolah ini sangat lah buruk, perasaan yang tidak tenang tentang lingkungan baru entah pertemanan atau hubungan terhadap guru dan kaka kelas semua, nyatanya saya sangat bangga dan sangat senang bisa masuk disekolah ini

untuk dihari pertama mpls, didampingi oleh kaka mpk osis dan diberi banyak bocoran tentang sekolah ini yang menurut mereka baik dan buruknya, akan tetapi dimata mereka ada banyak hal yang menakutkan tapi dimata saya itu belum seberapa, jika begitu maka saya sangat senang

karna ekspetasi saya salah terhadap sekolah ini, dalam beberapa hari saya mendapatkan banyak teman baru dan guru baru, guru agama yang bernama bu neneng menurut saya sangat lucu karna saya dengar bahwa beliau juga guru nari, beliau tidak menakutkan beliau lucu dan cara beliau menyampaikan pesan penting tidak pernah membosankan

yang kedua bu lizza guru mtk, yang aku pikir galak ternyata tidak, saya sangat bingung mengapa guru di SMAN 63 ini sangat lucu dalam menjelaskan beberapa materi, saya tidak bisa menyebutkan satu satu, untuk mapel bk mtk IPA IT dan lain lain semuanya saya sangat suka!!! 

saya belum pernah mendengar keluhan tentang SMAN 63 tapi entah kenapa saya berfikir bahwa di SMA akan semenakutkan itu, terima kasih bapa ibu guru serta kaka kelas semua atas motivasi yang diberikan, saya semakin yakin bahwa saya bisa dan saya tidak akan lupa tentang hal tersebut yang telah kalian berikan, saya berharap adik kelas saya bisa merasakan hal yang sesenang ini dan saya harap SMA 63 semakin maju

terima kasih atas semuanya semoga SMA 63 semakin maju dan jaya aamiin sekian dari saya terima kasih

guru² yang mengajar dikelas saya:

Matematika : bu lizza

Agama : bu neneng

IT : pak ridwan

P5 : pak sapto

fisika : bu novita

biologi : bu marlia

pcsl : bu lilik

b. indonesia : pak muhtadi

kimia : bu eka

prakarya : bu novita

pjok : pak yofi